Question

已知f（x）=ax²+bx+c，f（0）=0，对任意实数x恒有f（1-x）=f（1+x）成立，方程f（x）=x有两个相等实根．
（1）求f（x）；
（2）是否存在实数m，n，使得函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]？为什么？

Answer 1

（1）∵f（1-x）=f（1+x），∴f（x）的对称轴为x=1，
可得-

b

2a

=1即b=-2a．（*）
∵f（x）=x有两相等实根，∴ax²+bx=x，即方程ax²+（b-1）x=0有两相等实数根，
∴（b-1）²-4×a×0=0，解之得b=1，代入（*）得a=-

1

2

，
∴函数的解析式为f（x）=-

1

2

x²+x．
（2）由（1）得f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，
若函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]，可得3n≤

1

2

，所以m＜n≤

1

6

，
又∵函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x=1，
∴f（x）在区间[m，n]上单调递增，有f（m）=3m且f（n）=3n，
解之得m=0或m=-4，n=0或n=-4，
又∵m＜n，∴m=-4，n=0．
即存在实数m=-4、n=0，使得函数f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[3m，3n]．