Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=A₁A=1．
（Ⅰ）求证：B₁C₁∥平面A₁BC；
（Ⅱ）求三棱锥A-A₁CB的体积；
（Ⅲ）求二面角A₁-CB-A的正切值．

Answer 1

分析：方法一：
（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面A₁BC内找到与直线B₁C₁平行的直线就可以了；
（2）解决三棱锥求体积的问题，关键在于找到合适的高与对应的底面，切忌不审图形，盲目求解．如此题中要求三棱锥A-A₁CB的体积，不要直接的就把面A₁CB看成底面，再去寻找它的高，这样子高很难作出来，并且还要证明；实际上，只要稍微观察一下就知道，如果以ACB为底面的话，则很显然的AA₁即为高，计算就简单多了．
（3）二面角的度量关键在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂线定理．此题中因为A₁A⊥平面ABC，所以在平面ABC内过点A向BC做垂线AD，交BC延长线于点D，连接A₁D，所以A₁D⊥BD．则∠A₁DA是二面角A₁-CB-A的平面角．
方法二：
在直棱柱、直棱锥、直棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．比如此题中，我们可以以A为坐标原点，分别以CA、CC₁为x、z轴，以及CA的垂线为y轴，建立空间直角坐标系c-xyz．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．

解答：解：方法1：
（Ⅰ）
∵在三棱柱中C₁B₁∥CB，BC?平面A₁BC且B₁C₁?平面A₁BC
则B₁C₁∥平面A₁BC．（3分）
（Ⅱ）解：因为V_A-A1CB=V_A1-ABC=

1

3

×1×（

1

2

×1×1×sin120°）=

3

12

．（6分）
（Ⅲ）解：在平面ABC内过点A向BC做垂线AD，
交BC延长线于点D，连接A₁D．
因为A₁A⊥平面ABC，
所以A₁D⊥BD．
所以∠A₁DA是二面角A₁-CB-A的平面角．
容易求出AD=

3

2

，
所以tan∠A₁DA=

A1A

AD

=

2

3

=

2 3

3

．
即二面角A₁-CB-A的正切值是

2 3

3

（13分）

方法2：
如图建立空间直角坐标系，则有
A（1，0，0），A₁（1，0，1），B（-

1

2

，

3

2

，0），
B₁（-

1

2

，

3

2

，1），C₁（0，0，1）．
（Ⅰ）略．
（Ⅱ）略．
（Ⅲ）解：
显然n₁=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量．
设n₂=（x，y，z）是平面A₁BC的法向量，
则n₂•

CA1

=0，且n₂•

CB

=0．
即x+z=0，且-

1

2

x+y

3

2

=0．
解得平面A₁BC的一个法向量是n₂=（1，

3

3

，-1）．
因为n₁•n₂=-1，|n₁|=1，|n₂|=

7

3

，
设二面角A₁-CB-A的大小为β，
则cos（π-β）=-

3

7

=-

21

7

．所以cosβ=

21

7

．
所以tanβ=

2 3

3

（13分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．此题条件及结论都比较清楚，建议使用方法一求解．