Question

已知关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0 ①，x²-4mx+4m²-4m-5=0 ②求使方程①②都有实根的充要条件．

Answer 1

分析：分别求出方程①和方程②有根的充要条件，将求出的m的范围取交集．

解答：解：方程①有实数根时，其判别式△₁=（-4）²-16m≥0，即m≤1，且 m≠0；
当m≤1，且 m≠0时，其判别式△₁=（-4）²-16m≥0，
∴方程①有实数根的充要条件是m≤1，且 m≠0；
方程②有实数根时，其判别式△₂=（4m）²-4（4m²-4m-5）≥0，即m≥-

5

4

．
当m≥-

5

4

时，其判别式△₂=（4m）²-4（4m²-4m-5）≥0
方程②有实数根的充要条件是  m≥-

5

4

．
∴方程①②都有实数根的充要条件是{  m|m≥-

5

4

且 m≠0；}∩{  m|m≥-

5

4

}
={m|-

5

4

≤m≤1，且 m≠0}；
反之，当-

5

4

≤m≤1时，方程①②都有实根；
故方程①②都有实根的充要条件是-

5

4

≤m≤1．

点评：一元二次方程有实数根的充要条件是判别式大于或等于0．