Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）设

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R
则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
方程两边同乘以2R
∴2a²=（2b+c）b+（2c+b）c
整理得a²=b²+c²+bc
∵由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
故cosA=-

1

2

，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC
=sinB+sin（60°-B）
=

3

2

cosB+

1

2

sinB
=sin（60°+B）
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．