Question

（2012•东城区一模）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）²-2sin²2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移

π

8

个单位长度得到的，当x∈[0，

π

4

]时，求y=g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将函数解析式第一项利用完全平方公式展开，再利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；
（Ⅱ）由第一问确定的f（x）解析式，根据平移规律“左加右减”表示出g（x），利用x的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质即可求出g（x）的最大值与最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（sin2x+cos2x）²-2sin²2x
=sin²2x+2sin2xcos2x+cos²2x-（1-cos4x）
=1+sin4x-1+cos4x=sin4x+cos4x=

2

sin（4x+

π

4

），
∴函数f（x）的最小正周期为

2π

4

=

π

2

；
（Ⅱ）依题意，y=g（x）=

2

sin[4（x-

π

8

）+

π

4

]=

2

sin（4x-

π

4

），
∵0≤x≤

π

4

，∴-

π

4

≤4x-

π

4

≤

3π

4

，
当4x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

16

时，g（x）取最大值

2

；
当4x-

π

4

=-

π

4

，即x=0时，g（x）取最小值-1．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，平移规律，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．