Question

设A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，7），D（-5，-4，8），求D到平面ABC的距离．

Answer 1

分析：设平面ABC的法向量n=（x，y，z），利用待定系数法求出此法向量，最后结合点到平面的距离公式求解即得．

解答：解：设平面ABC的法向量n=（x，y，z），
∵n•

AB

=0，n•

AC

=0，
∴

(x，y，z)•(2，-2，1)=0 (x，y，z)•(4，0，6)=0

即

2x-2y+z=0 4x+6z=0

?

x=- 3 2 z y=-z.

令z=-2，则n=（3，2，-2）．
∴cos＜n，

AD

＞=

3×(-7)+2×(-7)-2×7

32+22+(-2)2 • (-7)2+(-7)2+72

．
∴点D到平面ABC的距离为d，
d=|

AD

|•|cos＜n，

AD

＞|=

49

17

=

49 17

17

．

点评：本题主要考查了利用空间向量求点、线、面间的距离计算，考查运算能力和推理论证能力，属于基础题．