Question

（2012•蚌埠模拟）已知函数f（x）=

2x

x+1

，数列{a_n}满足a₁=2，且a_n=

1

2

f(an-1)(n∈N*，n≥2)．
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（2）对一切正整数n，令S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 a_n=

an-1

an-1+1

，化简可得

1

an

=1+

1

an-1

，从而得出结论．
（2）由（1）可得

1

an

=

1

2

+（n-1）×1=

2n-1

2

，得 a_n=

2

2n-1

，用裂项法求出S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1 的值．

解答：解：（1）证明：由题意可得 a_n=

an-1

an-1+1

，∴

1

an

=1+

1

an-1

，∴{

1

an

}是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）可得

1

an

=

1

2

+（n-1）×1=

2n-1

2

，∴a_n=

2

2n-1

．
故S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1 =4×

1

1×3

+4×

1

3×5

+4×

1

5×7

+…+4×

1

(2n-1)(2n+1)

 
=4[1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

]=4×（1-

1

2n+1

）=

4n

2n+1

．

点评：本题主要考查等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．