Question

已知函数f（x）=ax²-2x，，（a，b∈R），
（Ⅰ）当b=0时，若f（x）在[2，+∞)上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对（a，b）：当a是整数时，存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）当b=0时，，
若a=0，f（x）=-4x，则f（x）在[2，+∞)上单调递减，不符题意，
故a≠0，要使f（x）在[2，+∞)上单调递增，必须满足，
∴a≥1；
（Ⅱ）若a=0，，则f（x）无最大值，故a≠0，
∴f（x）为二次函数，要使f（x）有最大值，必须满足，
即a＜0且，
此时，时，f（x）有最大值。
又g（x）取最小值时，，
依题意，有，
则，
∵a＜0且，
∴，得a=-1，
此时b=-1或b=3，
∴满足条件的实数对（a，b）是（-1，-1），（-1，3）。