Question

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=（1）求MN的长；

（2）当为何值时，MN的长最小；  （3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。

Answer 1

解析:

（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,

∴,, 即,

∴

（2）由（1）知: ，

(3)取MN的中点G，连接AG、BG，∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN，

∴∠AGB即为二面角α的平面角。又，所以由余弦定理有

。故所求二面角。