Question

已知函数f(x)=2sin(ωx+

π

4

)(ω＞0)，y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，
（Ⅰ）求f（x） 的解析式；
（Ⅱ）求f（x）对称轴方程和单调递增区间；
（Ⅲ）求f（x）在区间[-

π

4

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根据函数的最大值为2和三角函数的周期公式，算出ω=2，从而求出f（x） 的解析式；
（II）由（I）所得的函数表达式，结合三角函数单调区间和对称轴方程的结论，即得函数的对称轴方程和单调增区间；
（III）当x∈[-

π

4

，

π

2

]时，可得2x+

π

4

∈[-

π

4

，

5π

4

]，结合三角函数的图象与性质即可得到函数的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2sin(ωx+

π

4

)的最大值为2，且函数图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，
∴函数的最小正周期T=π，可得ω=

2π

T

=2，
∴函数的解析式为：f(x)=2sin(2x+

π

4

)…（4分）
（Ⅱ）令2x+2kπ=

π

2

+kπ，k∈Z，得x=

π

8

+

kπ

2

．
∴f（x）的对称轴方程：x=

π

8

+

kπ

2

，k∈Z…（6分）
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间为[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，（k∈Z）…（8分）
（Ⅲ）∵-

π

4

≤x≤

π

2

，
∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，可得-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1…（10分）
当2x+

π

4

=-

π

4

时，即x=-

π

4

时，f（x）有最小值为-

2

；
当2x+

π

4

=

π

2

时，即x=

π

8

时，f（x）有最大值为2．

点评：本题给出三角函数式满足的条件，求函数f（x）的单调区间和闭区间上的最值，着重考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识、复合三角函数的单调性等知识，属于中档题．