Question

已知数列{a_n}前n项和S_n=2n²-3n，数列{b_n}是各项为正的等比数列，满足a₁=-b₁，b₃（a₂-a₁）=b₁．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n，求c_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，a₁=s₁=-1，当n≥2时，利用a_n=s_n-s_n-1得到a_n的通项公式，把n=1代入也满足，得到即可；因为数列{b_n}是各项为正的等比数列，可设公比为q且b₁=-a₁=1，则根据b₃（a₂-a₁）=b₁即可解出q，然后利用等比数列的通项公式得到b_n的通项；
（2）把a_n和b_n的通项公式代入到c_n=a_n•b_n中，由c_n≥c_n-1且c_n≥c_n+1列出不等式求出解集中的正整数解得到c_n的最大值

解答：解：（1）∵an=

S1n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，
∴an=

-1，n=1 4n-5，n≥2

，
即an=4n-5（n∈N*）由已知b₁=1，b₁q²（a₂-a₁）=b₁，
∴q2=

1

4

∵b_n＞0，∴q=

1

2

，∴bn=(

1

2

)n-1
（2）cn=(4n-5)(

1

2

)n-1由

cn≥cn-1 cn≥cn+1

得n=3．即c₃最大，最大值为

7

4

．

点评：考查学生会利用a_n=s_n-s_n-1得到a_n的通项公式，灵活运用等比数列的通项公式，会利用不等数求数列和的最大值．