Question

已知直线l：y=x+b（b∈R）与圆C：（x-a）²+y²=8（a＞0）．
（1）若直线l与圆C相切于点P，且点P在y轴上，求圆C的方程；
（2）当b=2时，是否存在a，使得直线l与⊙C相交于A、B两点，且满足

OA

•

OB

=-1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）法一：依题意，点P的坐标为（0，b），根据直线l与圆C相切于点P，可得CP⊥l，利用P（0，b）在圆C上，即可求得a=b=2，从而可求圆的方程；
法二：依题意，所求圆与直线x-y+b=0相切于点P（0，b），则

a2+b2=8 |a-0+b| 2 =2 2 a＞0

，即可求得a=b=2，从而可求圆的方程；
（2）当b=2时，假设存在a，使直线l：y=x+2与圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，联立方程组

y=x+2 (x-a)2+y2=8

  消去y得  2x²+（4-2a）x+a²-4=0，利用韦达定理可得x₁+x₂=a-2，x1•x2=

a2-4

2

，利用

OA

•

OB

=-1，可得关于a的方程，从而可求a的值，进而检验可知满足条件的a存在．

解答：解：（1）法一：依题意，点P的坐标为（0，b），…（1分）
∵CP⊥l，∴

0-b

a-0

×1=-1，得b=a，…（1分）
又P（0，b）在圆C上，∴a²+b²=8，…（1分）
又∵a＞0从而解得a=b=2，故所求圆的方程为（x-2）²+y²=8．…（2分）
法二：依题意，所求圆与直线x-y+b=0相切于点P（0，b），
则

a2+b2=8 |a-0+b| 2 =2 2 a＞0

，解得

a=2 b=2

，故所求圆的方程为（x-2）²+y²=8．
（2）当b=2时，假设存在a，使直线l：y=x+2与圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
联立方程组

y=x+2 (x-a)2+y2=8

  消去y得  2x²+（4-2a）x+a²-4=0
∴x₁+x₂=a-2，x1•x2=

a2-4

2

，…（2分）
又∵y₁•y₂=（x₁+2）（x₂+2）=x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4
∴

OA

•

OB

=x1•x2+y1•y2=2x1•x2+2(x1+x2)+4=（a²-4）+2（a-2）+4=-1
即：a²+2a-3=0，解得：a=1或a=-3…（3分）
又∵△=（4-2a）²-8（a²-4）＞0，得a²+4a-12＜0⇒-6＜a＜2，
而a＞0，
∴0＜a＜2
故存在a=1，使得直线l与⊙C相交于A、B两点，且满足

OA

•

OB

=-1…（3分）

点评：本题以直线与圆为载体，考查直线与圆相切，考查向量知识的运用，解题的关键是将向量运算坐标化，从而建立方程，应注意方程判别式的验证．