Question

已知函数f（x）=（

x

-2）²（x≥4）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n）（n∈N^*），数列{b_n}满足bn=

4

an+1-1

(n∈N×)．
（Ⅰ）求证{

an

}为等差数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由函数f（x）=（

x

-2）²（x≥4），求得反函数，再由a_n+1=f^-1（a_n）求得

an+1

-

an

=2（n∈N*）由等差数列的定义得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）可计算得a_n=（2n-1）²从而计算得到b_n=

4

an+1-1

=

4

(2n+1)2-1

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，最后由错位相消法求和．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（

x

-2）²（x≥4），
∴f^-1（x）=（

x

+2）²（x≥0），
∴a_n+1=f^-1（a_n）=（

an

+2）²，
即

an+1

-

an

=2（n∈N*）．
∴数列{

an

}是以

a1

=1为首项，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

an

=1+2（n-1）=2n-1，所以a_n=（2n-1）²
∴b_n=

4

an+1-1

=

4

(2n+1)2-1

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=

n

n+1

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了等差数列的定义及通项公式，错位相消法求和等问题，属中档题，是常考类型．