Question

（2008•湖北模拟）若函数f（x）=sin²ax-sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m相切，并且切点的横坐标依次成公差为

π

2

的等差数列．
（Ⅰ）求a、m的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，

π

2

]上的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）先通过二倍角公式、两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为y=Asin（wx+φ）+b的形式，根据T=

π

2

=

2π

w

可求出a，函数f（x）的最大值等于m等于A+b可求m的值．
（2）根据正弦函数的图象规律，先解不等式2kπ-

π

2

≤4x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，再找到函数在R上的单调区间，取适当的k值，与区间[0，

π

2

]取交集，就可得到函数在[0，

π

2

]上的单调递减区间．

解答：解：（1）f（x）=sin²ax-sinaxcosax
=

1-cos2ax

2

-

sin2ax

2

=-

1

2

(sin2ax+cos2ax)+

1

2

=-

2

2

sin(2ax+

π

4

)+

1

2

（2分）
由题意：f（x）的周期为

π

2

∴

2π

2a

=

π

2

∴a=2（4分）
∴f(x)=-

2

2

sin(4x+

π

4

)+

1

2

，
∴m=-

2

2

+

1

2

或

2

2

+

1

2

（6分）
（2）令：2kπ-

π

2

≤4x+

π

4

≤2kπ+

π

2

k∈Z
∴

kπ

2

-

3π

16

≤x≤

kπ

2

+

π

16

  ，k∈Z又∵x∈[0，

π

2

]
∴f（x）在[0，

π

2

]上的单调递减区间是：[0，

π

16

]和[

5π

16

，

π

2

]（12分）

点评：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的正弦公式等三角函数的图象与性质等等，属于中档题．三角函数的公式比较多，要强化记忆熟练掌握做题时方能游刃有余．