Question

如图所示，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱CC₁上的动点.

(Ⅰ)求证：A₁E⊥BD；

(Ⅱ)当点E恰为棱CC₁的中点时，求证：平面A₁BD⊥平面EBD；

(Ⅲ)在棱CC₁上是否存在一个点E，使二面角A₁-BD-E的大小为45°?如果存在，试确定点E在棱CC₁上的位置；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

法一：（Ⅰ）证明：连结AC,则BD⊥AC 

又∵EC⊥平面ABCD，AA₁⊥平面ABCD，

∴AC是A₁E在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理知：A₁E⊥BD 

(Ⅱ)设AC∩BD=0，连结A₁O、EO

∵A₁D=A₁B,∴A₁O⊥BD,同理可证EO⊥BD,

∴∠A₁OE是二面角A₁-BD-E的平面角. 

设正方体的棱长为2a,由平面几何知识，得

A₁O=a,EO=a,A₁E=3a,

∴A₁E²=A₁O²+EO²,∴∠A₁OE=,即:

平面A₁ED⊥平面EBD 

(Ⅲ)在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，假设棱CC₁上存在点E，使二面角A1-BD-E的大小为，由（Ⅱ）知∠A₁OE= 

设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2a,EC=x,

由平面几何知识，得：EO=,

A₁O=a,A₁E= 

∴在ΔA₁OE中，由余弦定理得：

A₁E²=A₁O²+EO²-2  A₁O·EO·cos∠A₁OE

即：x²-8ax-2a²=0,(x＞a),解得：x=(4±3)a 

∵(4+3)a＞2a,(4-3)a＜0,

∴棱CC₁上不存在满足条件的点E 

法二：以DA、DC、DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

(Ⅰ)设正方体的棱长为a,则:A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A₁(a,0,a),C₁(0,a,a),D(0,0,0)设E(0,a,x),则=(-a,a,x-a), =(-a,-a,0)

∵=(-a)·(-a)+a·(-a)+(x-a)·0=0,

∴，即A₁E⊥BD 

(Ⅱ)由题设可知E(0,a,),设BD的中点为O，则O(,,0).

∴=(-,,),=(-a,-a,0) 

则·=(-)·(-a)+·(-a)+·0=0,

∴⊥,   同理可证⊥,

∴∠A₁OE是二面角A₁-BD-E的平面角 

又=(,-,a),故:

·=·(-)+(-)·+a·=0

∴·=0,则∠A₁OE=,

∴平面A₁BD⊥平面EBD 

(Ⅲ)假设满足题意的点E存在，设E(0,a,x),(0≤x≤a),

则=(-,,x),=(,-,a).

∴cos∠A₁OE=,

解得：x=

由x=＞a,x=＜0,与0≤x≤a矛盾,

故棱CC₁上不存在满足条件的点E