Question

17．已知数列{a_n}，满足a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=a_n•3ⁿ（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式为（　　）

• A． a_n=3${\;}^{\frac{{a}^{2}-2n}{2}}$
• B． a_n=3${\;}^{\frac{{n}^{2}-2n-2}{2}}$
• C． a_n=3${\;}^{\frac{{n}^{2}-n-2}{2}}$
• D． a_n=3${\;}^{\frac{{2}_{n}-{n}^{2}}{2}}$

Answer 1

分析 通过对a_n+1=a_n•3ⁿ两边同时取对数可知log₃a_n+1=log₃a_n+n，利用累加法计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=a_n•3ⁿ（n∈N^*），
∴log₃a_n+1=log₃（a_n•3ⁿ）=log₃a_n+n，
∴log₃a_n=log₃a_n-1+n-1，
log₃a_n-1=log₃a_n-2+n-2，
…
log₃a₂=log₃a₁+1，
累加得：log₃a_n=log₃a₁+1+2+…+（n-1）
=$lo{g}_{3}\frac{1}{3}$+$\frac{n（n-1）}{2}$
=-1+$\frac{n（n-1）}{2}$
=$\frac{{n}^{2}-n-2}{2}$，
∴a_n=${3}^{\frac{{n}^{2}-n-2}{2}}$，
故选：C．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．