Question

18．设A为非空实数集，若?x，y∈A都有x+y，x-y，xy∈A，则称A为封闭集．
①集合A={-2，-1，0，1，1}为封闭集；②集合A={n|n=2k，k∈Z}为封闭集；
③若集合A₁，A₂为封闭集，则A₁∪A₂为封闭集；
④若A为封闭集，则一定有0∈A．
其中正确结论的序号是②④．

Answer 1

分析 ①由于-2-1=-3∉A，即可判断出集合A不是封闭集；
②利用封闭集的定义即可判断出正误；
③反例A₁={n|n=$\sqrt{3}$k，k∈Z}，A₂={n|n=$\sqrt{2}$k，k∈Z}，利用封闭集的定义即可判断出正误；
④若A为封闭集，?x∈A都有x-x=0∈A，即可判断出正误．

解答 解：①∵-2-1=-3∉A，因此集合A={-2，-1，0，1，1}不是封闭集；
②?2k₁，2k₂∈A（k₁，k₂∈Z），则2k₁+2k₂∈A，2k₁-2k₂∈A，2k₁•2k₂∈A，因此集合A={n|n=2k，k∈Z}为封闭集；
③反例A₁={n|n=$\sqrt{3}$k，k∈Z}，A₂={n|n=$\sqrt{2}$k，k∈Z}；虽然集合A₁，A₂为封闭集，但是A₁∪A₂不是封闭集，因此不正确；
④若A为封闭集，?x∈A都有x-x=0∈A，则一定有0∈A，正确．
其中正确结论的序号是②④．
故答案为：②④．

点评 本题考查了新定义“封闭集”、集合的运算及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．