Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小正周期；
（2）若f（x）=2f′（x），求

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值．

Answer 1

分析：（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小正周期，必须先求f（x）的导数，再进行化简F（x）．再决定如何求最值和周期．
（2）根据f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx-2cosx-2sinx?tanx=

1

3

；再求

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值，可以采用“齐次化切法”．

解答：解：（1）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f′（x）=cosx-sinx．
代入F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²
易得
F(x)=cos2x+sin2x+1=

2

sin(2x+

π

4

)+1
当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

?x=kπ+

π

8

(k∈Z)时，[F(x)]max=

2

+1
最小正周期为T=

2π

2

=π
（2）由f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx=2cosx-2sinx．
解得tanx=

1

3

∴

1+sin2x

cox2x-sinxcosx

=

2sin2x+cos2x

cos2x-sinxcosx

=

2tan2x+1

1-tanx

=

11

6

；
答：（1）函数F（x）的最大值为

2

+1，最小正周期为π；
（2）

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值为

11

6

．

点评：求f（x）的导数，必须保证求导的准确，要熟记求导公式．已知tanx=a，求其它三角函数代数式的值，常常采用“齐次化切法”．