Question

已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x)+f(x－1)=1,当x∈[0,1]时,f(x)= 现有4个命题:
　　①f(x)是周期函数,且周期为2;　　②当x∈[1,2]时,f(x)=2x－ ;　　③f(x)为偶函数;　　④f(－2005.5)= .
　　其中正确命题的个数是(　　 )
　　A.1　　　　B.2　　　　　 C.3　　　　　 D.4

Answer 1

解析：从认知f(x)的性质入手,由f(x)+f(x－1)=1得f(x－1)=1－f(x)　(※)　　∴f(x－2)=1－f(x－1)　 (※※)
　　∴由(※),(※※)得f(x)=f(x－2)　∴f(x)为周期函数,且2是f(x)的一个周期.　　(1)由上述推理可知 ① 正确.
　　(2)当x∈[1,2]时,有x－1∈[0,1].∴由题设得f(x)=1－f(x－1)=1－(x－1) =2x－x ,　由此可知 ② 正确
　(3)由已知条件以及结果 ① ② 得 ,又f( )= ,　 ∴f( )≠f(－ )
　　∴f(x)不是偶函数即③不正确;
　　(4)由已知条件与f(x)的周期性得f(－2005.5)=f(－2005.5+2×1003)= f( )= 故④不正确.
　　于是由(1)(2)(3)(4)知,本题应选B.