Question

如图，直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB＝，侧棱AA₁＝1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M.

（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；

（Ⅱ）求面B₁BD与面CBD所成二面角的大小.

Answer 1

本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

  解法一：（Ⅰ）如图，连结CA₁、AC₁、CM，则CA₁=.

∵CB=CA₁=,

∴△CBA₁为等腰三角形，

又知D为其底边A₁B的中点，

∴CD⊥A₁B.

∵A₁C₁=1,C₁B₁=,

∴A₁B₁=，

又BB₁＝1，∴A₁B＝2.

∵△A₁CB为直角三角形，

D为A₁B的中点，

∴CD=A₁B=1,CD=CC₁.

又DM=AC₁=,DM=C₁M,

∴△CDM≌△CC₁M,

∠CDM=∠CC₁M=90°,即CD⊥DM.

因为A₁B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B₁G、FG、B₁F，则

FG∥CD，FG=CD.

∴FG=,FG⊥BD.

由侧面矩形BB₁A₁A的对角线的交点为D，

知BD=B₁D=A₁B=1，

所以△BB₁D是边长为1的正三角形，

于是B₁G⊥BD,B₁G=

∴∠B₁GF是所求二面角的平面角.

又B₁F²=B₁B²+BF²=1+（）²=

∴cosB₁GF==.

即所求二面角的大小为π－arccos

解法二：如图，以C为原点建立坐标系.

（Ⅱ）B（,0,0）,B₁（,1,0）,A₁（0,1,1）,D（,,）,M（,1,0）,

=（,,）, =（,－1,－1）,

=（0, ,－）,

则?=0, ?=0,

∴CD⊥A₁B,CD⊥DM.

因为A₁B、DM为平面BDM内两条相交直线，

所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）设BD中点为G，连结B₁G，则G（,,）,

=（－,,）, =（－,－,）,

∴?=0.∴BD⊥B₁G.

又CD⊥BD，

∴与的夹角θ等于所求二面角的平面角.

cosθ==－.

所以所求二面角的大小等于π－arccos.