Question

已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)在x＝1处取得极值.

(1)求实数a的值；

(2)若关于x的方程f(x)＋2x＝x²＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；

(3)证明： (n∈N，n≥2).参考数据：ln2≈0.6931.

Answer 1

（1）0（2）＋ln2≤b≤2

（3）见解析

解析:

(1)f '(x)＝1＋，由题意，得f '(1)＝0  ??  a＝0 ……2'

(2)由(1)知f(x)＝x－lnx

∴f(x)＋2x＝x²＋b  ó  x－lnx＋2x＝x²＋b  ó  x²－3x＋lnx＋b＝0

设g(x)＝x²－3x＋lnx＋b(x＞0)

则g'(x)＝2x－3＋＝         ……4'

当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表

x	(0，)		(，1)	1	(1，2)	2
g'(x)	＋	0	－	0	＋
G(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗	b－2＋ln2

                   ……6'

当x＝1时，g(x)_最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2

∵方程f(x)＋2x＝x²＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根

由  ?? 

??  ＋ln2≤b≤2      ……9'

(3)∵k－f(k)＝lnk

∴nk＝2

ó(n∈N，n≥2)     ……10’

设Φ(x)＝lnx－(x²－1)

则Φ'(x)＝－＝

当x≥2时，Φ'(x)＜0  ??  函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，

∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0  ??  lnx＜(x²－1)       ……12'

∴当x≥2时，      ……13'

∴

＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋……()]

＝2(1＋－)

＝.

∴原不等式成立.      ……14'