Question

（2011•孝感模拟）已知F₁，F₂为椭圆

x2

100

+

y2

b2

=1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．
（1）求|PF₁|•|PF₂|的最大值；
（2）若∠F₁PF₂=60°且△F₁PF₂的面积为

64 3

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|为定值2a，再利用均值定理求积|PF₁|•|PF₂|的最大值即可；、
（2）先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F₁F₂|，设出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面积公式求解即可求出b值．

解答：解：（1）∵P点在椭圆上，∴|PF₁|+|PF₂|=|2a=20，
∵|PF₁|＞0，|PF₂|＞0，∴|PF₁|•|PF₂|≤

(|PF1|+|PF2|)2

4

=100，
∴|PF₁|•|PF₂|有最大值100．
（2）∵a=10，|F₁F₂|=2c．
设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
则根据椭圆的定义可得：t₁+t₂=20①，
在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，
所以根据余弦定理可得：t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=4c²②，
由①²-②得3t₁•t₂=400-4c²，
所以由正弦定理可得：S△F1PF2=

1

2

t1t2•sin60°=

1

2

×

1

3

×(400-4c2)× 

3

2

=

64 3

3

．
所以c=6，
∴b=8．

点评：本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法