Question

已知椭圆与双曲线x2-

y2

3

=1有公共的焦点，且椭圆过点P（0，2）．
（1）求椭圆方程的标准方程；
（2）若直线l与双曲线的渐近线平行，且与椭圆相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）求出双曲线x2-

y2

3

=1 的焦点坐标分别为（-2，0）（2，0），即c=2；设出椭圆的标准方程，利用椭圆过点P（0，2），求出a²，b²；
（2）双曲线渐近线方程是y=±

3

x，设直线l：y=±

3

x+m，根据直线与椭圆相切解出m的值．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）．
双曲线x2-

y2

3

=1 的焦点坐标分别为（-2，0）（2，0），
∴椭圆焦点坐标分别为（-2，0）（2，0），∴c=2，即a²=b²+4，
又椭圆过点P（0，2），则0+

4

b2

=1，
∴b²=4，得a²=8，
∴所求椭圆方程的标准方程为 

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）双曲线渐近线方程：y=±

3

x，
设直线l：y=±

3

x+m，
代入椭圆方程得：7x²±4

3

mx+2m²-8=0，
由相切得：△=48m²-28（2m²-8 ）=0，解得m=±2

7

 
∴直线l的方程是：y=±

3

x±2

7

．

点评：本题考查了双曲线的简单性质与椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，解答的关键是利用直线与椭圆相切的条件△=0求出待定系数．