Question

已知f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）证明函数f （ x ）的图象关于y轴对称；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
（Ⅲ）当x∈[1，2]时函数f （x ）的最大值为

5

2

，求此时a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）定义域为R，证明f（-x）=f（x），确定函数为偶函数，从而证得函数f （ x ）的图象关于y轴对称；
（Ⅱ）利用单调性的定义，设0＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），化简确定差的正负，从而证得函数的单调性；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，利用函数的单调性，即可得到函数的最大值，再根据函数的最大值为

5

2

，列出等式，即可求得a的值．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1），
∴f（x）的定义域为R，
∵f（-x）=a^-x+a^x=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，根据偶函数图象的特征，
∴函数f （ x ）的图象关于y轴对称；
（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=a^x₁+a^-x₂-（a^x_2-a^-x₁）=a^x₁-a^x₂+

ax2-ax1

ax1+x2

=（a^x₁-a^x₂）（1-

1

ax1+x2

），
∵0＜x₁＜x₂，
①当0＜a＜1时，a^x₁＞a^x₂，a^x₁+x₂＜1，
∴

1

ax1+x2

＞1，
∴1-

1

ax1+x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调性递增；
②当a＞1时，a^x₁＜a^x₂，a^x₁+x₂＞1，
∴0＜

1

ax1+x2

＜1，
∴1-

1

ax1+x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调性递增；
综合①②，f（x）在（0，+∞）上的单调性递增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，f（x）在（0，+∞）上的单调性递增，
∴f（x）在[1，2]上的单调性递增，
∴f（x）的最大值为f（2）=a²+a^-2，
∵当x∈[1，2]时函数f （x ）的最大值为

5

2

，
∴a²+a^-2=

5

2

，解得a=

2

2

或a=

2

，
∴当x∈[1，2]时函数f （x ）的最大值为

5

2

，此时a的值为

2

2

或

2

．

点评：主要考查了函数奇偶性的判定，在判断奇偶性时一定要判断定义域是否对称，函数是偶函数，则其图象关于y轴对称．考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．同时考查了利用函数的额单调性求解函数的值域问题．属于中档题．