Question

已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且A₁A⊥平面ABCD，P为A₁A上一动点，过BD且垂直于PC的平面交PC于E，那么异面直线PC与BD所成的角的度数为

 

，当三棱锥E-BCD的体积取得最大值时，四棱锥P-ABCD的高PA的长为

 

．

Answer 1

分析：利用线面垂直的性质可得线线垂直；利用三角函数构造EH关于AP=x的函数，利用基本不等式求函数的最大值及取得最大值时的x值．

解答：解：连接BE，DE，∵平面BDE⊥PC，BD?平面BDE，
∴PC⊥BD，故异面直线PC与BD所成的角为90°；
连接AC，交BD于O，连接OE，过E作EH⊥AC，垂足为H，
∵A₁A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴AA₁⊥BD，又BD⊥AC，
∴BD⊥平面PAC，EH?平面PAC，∴EH⊥BD，BD∩AC=0，
∴EH⊥平面ABCD，又OE⊥PC，
在Rt△PAC中，PC=

2+x2

，OC=

2

2

，
设PA=x，如图：
EH=

2

2

×cos∠C×sin∠C=

2

2

×

2

2+x2

×

x

2+x2

=

x

2+x2

=

1

2 x +x

≤

1

2 2

=

2

4

V_E-BCD=

1

3

×

1

2

×1×1×EH≤

1

6

×

2

4

=

2

24

，
当x=

2

时取“=”．
故答案是90°，

2

点评：本题考查了线线垂直关系的判定，棱锥的体积计算，解答本题关键是利用三角函数构造EH关于AP=x的函数，体现了转化思想．