题目内容
（2013•德州一模）椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的焦点到直线x-3y=0的距离为
，离心率为
，抛物线G：y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D．
（1）求椭圆E及抛物线G的方程；
（2）是否存在学常数λ，使
+
为常数，若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
（1）求椭圆E及抛物线G的方程；
（2）是否存在学常数λ，使
| 1 |
| |AB| |
| λ |
| |CD| |
分析：（1）由点到直线的距离公式列式求出c的值，结合土偶眼离心率求出a的值，再由抛物线G：y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合即可求得椭圆方程和抛物线方程；
（2）依次射出A，B，C，D四点的坐标，设出直线l的方程，联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数关系分别写出A，B两点横坐标的和与积，写出C，D两点横坐标的和与积，利用弦长公式求出AB和CD的长度，代入
+
后可求出使
+
为常数的λ的值．
（2）依次射出A，B，C，D四点的坐标，设出直线l的方程，联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数关系分别写出A，B两点横坐标的和与积，写出C，D两点横坐标的和与积，利用弦长公式求出AB和CD的长度，代入
| 1 |
| |AB| |
| λ |
| |CD| |
| 1 |
| |AB| |
| λ |
| |CD| |
解答：解：（1）设E、G的公共焦点为F（c，0），由题意得
=
，
=
．
联立解得c=2，a=
，b=1．
所以椭圆E：
+y2=1，抛物线G：y2=8x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
直线l的方程为y=k（x-2），与椭圆E的方程联立
，得（1+5k2）x2-20k2x+20k2-5=0
△=400k4-20（5k2+1）（4k2-1）=20（k2+1）＞0．
x1+x2=
，x1x2=
|AB|=
|x1-x2|=
=
．
直线l的方程为y=k（x-2），
与抛物线G的方程联立
，得k2x2-（4k2+8）x+4k2=0．
x3+x4=
．
|CD|=x3+x4+4=
．
+
=
+
=
．
要使
+
为常数，则20+
λ=4，得λ=-
．
故存在λ=-
，使
+
为常数．
| c | ||
|
| ||
| 5 |
| c |
| a |
2
| ||
| 5 |
联立解得c=2，a=
| 5 |
所以椭圆E：
| x2 |
| 5 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
直线l的方程为y=k（x-2），与椭圆E的方程联立
|
△=400k4-20（5k2+1）（4k2-1）=20（k2+1）＞0．
x1+x2=
| 20k2 |
| 1+5k2 |
| 20k2-5 |
| 1+5k2 |
|AB|=
| 1+k2 |
| 1+k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
2
| ||
| 1+5k2 |
直线l的方程为y=k（x-2），
与抛物线G的方程联立
|
x3+x4=
| 4k2+8 |
| k |
|CD|=x3+x4+4=
| 8(k2+1) |
| k2 |
| 1 |
| |AB| |
| λ |
| |CD| |
| 1+5k2 | ||
2
|
| λk2 | ||
8
|
(20+
| ||
8
|
要使
| 1 |
| |AB| |
| λ |
| |CD| |
| 5 |
16
| ||
| 5 |
故存在λ=-
16
| ||
| 5 |
| 1 |
| |AB| |
| λ |
| |CD| |
点评：本题主要考查了曲线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，训练了设而不求的解题思想方法，考查了弦长公式的用法，直线与圆锥曲线问题的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．
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