题目内容

7．已知f（x）=logax与y=x相切，则a的值为${e}^{\frac{1}{e}}$．

分析 设切点为（m，n），则n=m，n=logam，求出函数的导数，求得切线的斜率，结合已知切线方程，可得m的方程，运用对数的运算性质，即可解得a．

解答 解：设切点为（m，n），
则n=m，n=logam，
又f（x）=logax的导数为f′（x）=$\frac{1}{xlna}$，
即有切线的斜率为$\frac{1}{mlna}$=1，
即有m=logam=logae，
解得m=e，a=${e}^{\frac{1}{e}}$，
故答案为：${e}^{\frac{1}{e}}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义和对数的运算性质，正确求导和消元求解是解题的关键．

练习册系列答案
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（1）求a，b；
（2）当h（x）=f（x）•g（x）时，证明：h（x）＞1．
15．曲线y=x3-2x+1在点（1，0）处的切线方程为（　　）
A．y=2x-2B．y=-2x+2C．y=x-1D．y=-x+1
2．曲线$y=cos（x+\frac{π}{6}）$在x=$\frac{π}{6}$处切线的斜率为（　　）
A．$\frac{1}{2}$B．-$\frac{1}{2}$C．-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
12．如图所示，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f（5）+f′（5）=（　　）
A．2B．12C．8D．4
19．曲线f（x）=ex在点A（x0，f（x0））处的切线与直线x-y+3=0平行，则点A的坐标为（　　）
A．（-1，e-1）B．（0，1）C．（1，e）D．（0，2）
16．已知函数f（x）=x2（x-a）+bx
（Ⅰ）若a=3，b=l，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若b=0，不等式$\frac{f（x）}{x^2}$-1nx+1≥0对任意的x∈[${\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，求a的取值范围．
17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（{x}^{2}-2ax）{e}^{x}，}&{x＞0}\\{bx，}&{x≤0}\end{array}\right.$，g（x）=clnx+b，且x=$\sqrt{2}$是函数y=f（x）的极值点，直线l是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线．
（1）求实数a的值和直线l的方程．
（2）若直线l与函数y=g（x）的图象相切于点P（x0，y0），x0∈[e-1，e]，求实数b的取值范围．

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