Question

已知各项均为正数的数列{a_n}，满足：a₁=3，且，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，，求S_n+T_n，并确定最小正整数n，使S_n+T_n为整数．

Answer 1

解：（1）条件可化为，
因此{}为一个等比数列，其公比为2，首项为，
所以=1°
因a_n＞0，由1°式解出a_n=2°
（2）由1°式有S_n+T_n=
=
=
为使S_n+T_n=为整数，
当且仅当为整数．
当n=1，2时，显然S_n+T_n不为整数，
当n³3时，4ⁿ-1=（1+3）ⁿ-1=C_n¹×3+C_n²×3²+3³（C_n³++3^n-3C_nⁿ）
∴只需=为整数，
因为3n-1与3互质，
所以为9的整数倍．
当n=9时，=13为整数，
故n的最小值为9．
分析：（1）由题意知，所以=，由此可知数列{a_n}的通项公式．
（2）由题设条件知S_n+T_n==，为使S_n+T_n=为整数，当且仅当为整数．由此可确定最小正整数n，使S_n+T_n为整数．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设条件中的隐含条件，仔细求解．