题目内容

设F₁，F₂分别为椭圆 $数学公式$ 的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A（1， $数学公式$ ）到F₁，F₂两点的距离之和等于4．
（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过点P（1， $数学公式$ ）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程；
（3）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程．

解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，
由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，
又点A（1， $\text{[math]}$ ）在椭圆上，因此 $\text{[math]}$ ，得b²=1，于是c²=3，
所以椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ，…（4分）
（2）显然直线DE斜率存在，设为k，方程为 $\text{[math]}$ ，设D（x₁′，y₁′），E（x₂′，y₂′），则
由 $\text{[math]}$ ，消去y可得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴k=-1
∴DE方程为y-1=-1（x- $\text{[math]}$ ），即4x+4y=5；…（9分）
（3）直线MN不与y轴垂直，设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程得（m²+4）y²+2my-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=- $\text{[math]}$ ，y₁y₂=- $\text{[math]}$ ，且△＞0成立．
又S_△OMN= $\text{[math]}$ |y₁-y₂|= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
设t= $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，则S_△OMN= $\text{[math]}$ ，
（t+ $\text{[math]}$ ）′=1-t^-2＞0对t≥ $\text{[math]}$ 恒成立，∴t= $\text{[math]}$ 时，t+ $\text{[math]}$ 取得最小，S_△OMN最大，此时m=0，
∴MN方程为x=1；…（14分）
分析：（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程，由椭圆的方程求出焦点坐标．
（2）设出DE方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式，求出斜率，即可求直线DE的方程；
（3）（3）直线MN不与y轴垂直，设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程，求出△OMN面积，利用导数，确定单调性，可得面积最大值，从而可求直线MN的方程．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．