Question

已知函数f(x)=

1-m+lnx

x

，m∈R．
（I）若m=1，判断函数在定义域内的单调性；
（II）若函数在（1，e）内存在极值，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求函数的导数，当m=1时，令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间，令x小于0，解得x的范围为函数的减区间．
（II）求出函数的导数，令导数等于0，求得x的值为e^m，此时函数有可能存在极值，再判断x=e^m左右两侧导数的正负，可知当x=e^m时函数有极大值，因为已知函数在（1，e）内存在极值，所以得到1＜e^m＜e，解不等式即可求出m的范围．

解答：解：（I）显然函数定义域为（0，+∞）
若m=1，则f(x)=

lnx

x

，
由导数运算法则知f′(x)=

1-lnx

x2

．
令f'（x）＞0，即

1-lnx

x2

＞0，
∴1-lnx＞0，解得x＜e．
令f'（x）＜0，即

1-lnx

x2

＜0，
∴1-lnx＜0，解得x＜e．
又∵函数定义域为（0，+∞）
∴函数的增区间为∈（0，e），函数的间区间为（e，+∞）．  
（II）由导数运算法则知，f′(x)=

m-lnx

x2

．
令f'（x）=0，得x=e^m．
当x∈（0，e^m）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（e^m，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．  
故当x=e^m时，f（x）有极大值，
又∵函数在（1，e）内存在极值
∴1＜e^m＜e，解得0＜m＜1

点评：本题主要考查函数的导数与单调区间，极值的关系，求单调区间时，注意单调区间是定义域的子区间．