Question

已知函数f（x）=sin2x-2cos²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合．

Answer 1

解：（1）∵cos²x=（1+cos2x），
∴f（x）=sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1
因此，f（x）的最小正周期为T==π
（2）由（1）知，当2x-=时，
即x=+kπ（k∈Z）时，函数有最大值-1
因此，函数f（x）取最大值时x的集合为：{x|x=+kπ，k∈Z}
分析：（1）利用三角函数的二倍角公式进行降次，再用辅助角公式合并，可得（x）=sin（2x-）-1，最后用三角函数周期的公式，得到函数的最小正周期．
（2）由（1）的表达式，结合正弦函数最值的结论列式并解之，即可得到f（x）的最大值及相应的x的集合．
点评：本题给出一个特殊三角函数表达式，叫我们求函数的周期并求函数取最大值时的x值，着重考查了二倍角的三角函数公式和辅助角公式，以及三角函数最值等知识，属于基础题．