Question

（12分）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°,点D是棱B₁C₁的中点．

（1）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；

（2）求证：AB₁∥平面A₁DC；

（3）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

（12分）（Ⅰ）证明：因为侧面均为正方形，

       所以,

       所以平面，三棱柱是直三棱柱．　　　………………1分

       因为平面，所以，　　　　　　　　　 ………………2分[来源:学科网]

       又因为，为中点，所以．             ……………3分

       因为,所以平面．      ……………4分

（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结，

       因为为正方形，所以为中点，

       又为中点，所以为中位线，

       所以，            ………………6分

       因为平面，平面，

       所以平面．      ………………8分

（Ⅲ）解： 因为侧面，均为正方形， ，

       所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系．

       设，则．[来源:学。科。网]

       ，                             ………………9分

       设平面的法向量为，则有

       ，， ，

       取，得．                            ……………10分

       又因为平面，所以平面的法向量为，………11分

       ，                    因为二面角是钝角，

       所以，二面角的余弦值为．              ……………12分