Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC过BD作与PA平行的平面BDE，交侧棱PC于点E，又作DF⊥PB，交PB于点F． (1) 证明：点E是PC的中点； (2) 证明：PB⊥平面EFD； (3) 求二面有C—PB—D的大小；

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解法一：连结AC，交BD于O， 则O为AC的中点，连结EO． ∵PA//平面BDE，平面PAC∩平面 BDE＝OE，∴PA//OE． ∴点E是PC的中点；………………3分
(2)	解法一：∵PD⊥底面ABCD，且DC底面ABCD， ∴PD⊥DC，△PDC是等腰直角三角形， 而DE是斜边PC的中线， ∴DE⊥PC，① 又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥BC． ∵底面ABCD是正方形，CD⊥BC，∴BC⊥平面PDC． 而DE平面PDC，∴BC⊥DE．② 由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB平面PBC， ∴DE⊥PB，又DF⊥PB且DE∩DF＝D， 所以PB⊥平面EFD．……………………………………………………8分 解法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC＝a．依题意得 P(0，0，a)，B(a，a，0)， C(0，a，0)， E(0，，)，A(a，0，0)， D(0，0，0)， ∴， ∴ ∴PB⊥DE， 由已知DF⊥PB，且DF∩DE＝D，所以PB⊥平面EFD．……………………8分
(3)	解法一：知PB⊥EF，已知PB⊥DF，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角，由(2)知，DE⊥EF，PD⊥DB． 设正方形ABCD的边长为a，则PD＝DC＝a，BD＝． 在Rt△PBD，Rt△BDF中， DF＝ 在Rt△EFD中， sinEFD＝． 所以，二面角C—PB—D的大小为．……………………14分 解法二：由(2)得，， 设平面PBC的法向量为n＝(x,y,z)，m为平面PBD的法向量，由n·＝0 及n·＝0得 又因为二面角C—PB—D为锐角，所以其大小为……………………14分