Question

已知F₁、F₂为双曲线(a＞0,b＞0且a≠b)的两个焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点.下面四个命题:

①△PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线x=a上;

②△PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线x=b上;

③△PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线OP上;

④△PF₁F₂的内切圆必通过点(a,0),

其中真命题的代号是________.(写出所有真命题的代号)

Answer 1

解析:设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B,与F₁F₂切于点M,

则|PA|=|PB|,|F₁A|=|F₁M|,|F₂B|=|F₂M|.

又点P在双曲线右支上,

所以|PF₁|-|PF₂|=2a.故|F₁M|-|F₂M|=2a.而|F₁M|+|F₂M|=2c,设M点坐标为(x,0),

则由|F₁M|-|F₂M|=2a,

可得(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a,显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴,故①④正确.

答案:①④