Question

（2012•邯郸模拟）已知两定点E（-2，0），F（2，0），动点P满足

PE

•

PF

=0，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M满足

PM

=

MQ

，点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，-2）作直线l与曲线C交于A、B两点，点N满足

ON

=

OA

+

OB

（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出点P的轨迹方程，再利用PM⊥x轴，点M满足

PM

=

MQ

，确定P，M坐标之间的关系，即可求曲线C的方程；
（Ⅱ）求得四边形OANB为平行四边形，则S_OANB=2S_△OAB，表示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵动点P满足

PE

•

PF

=0，∴点P的轨迹是以EF为直径的圆
∵E（-2，0），F（2，0），
∴点P的轨迹方程x²+y²=4
设M（x，y）是曲线C上任一点，∵PM⊥x轴，点M满足

PM

=

MQ

，
∴P（x，2y）
∵点P的轨迹方程x²+y²=4
∴x²+4y²=4
∴求曲线C的方程是

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）∵

ON

=

OA

+

OB

，∴四边形OANB为平行四边形
当直线l的斜率不存在时，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx-2，l与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线方程代入椭圆方程，可得（1+4k²）x²-16kx+12=0
∴x₁+x₂=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

由△=256k²-48（1+4k²）＞0，可得k＞

3

2

或k＜-

3

2

∵S△OAB=

1

2

|OD||x₁-x₂|=|x₁-x₂|
∴S_OANB=2S_△OAB=2|x₁-x₂|=2

(x1+x2)2-4x1x2

=8

4k2-3 (1+4k2)2

令k²=t，则

(1+4t)2

4t-3

=4t-3+

16

4t-3

+8，当t＞

3

4

，即4t-3＞0时，由基本不等式，可得4t-3+

16

4t-3

+8≥16，当且仅当4t-3=

16

4t-3

，即t=

7

4

时，取等号，此时满足△＞0
∴t=

7

4

时，

(1+4t)2

4t-3

取得最小值
∴k=±

7

2

时，四边形OANB面积的最大值为2，
所求直线l的方程为y=

7

2

x-2和y=-

7

2

x-2．

点评：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．