Question

设函数f（x）是增函数，对于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）；
（2）证明f（x）奇函数；
（3）解不等式

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2

f（x²）-f（x）＞

1

2

f（3x）．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f（0）；
（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f（x）是奇函数；
（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等式

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2

f（x²）-f（x）＞

1

2

f（3x）的解集即可．

解答：解：（1）由题设，令x=y=0，
恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，
（2）令y=-x，则由f（x+y）=f（x）+f（y）得
f（0）=0=f（x）+f（-x），即得f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数
（4）由

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2

f（x²）-f（x）＞

1

2

f（3x），
f（x²）-f（3x）＞2f（x），
即f（x²）+f（-3x）＞2f（x），
又由已知得：f[2（x）]=2f（x）
∴f（x²-3x）＞f（2x），
由函数f（x）是增函数，不等式转化为x²-3x＞2x．即x²-5x＞0，
∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．