题目内容
如图，设P是抛物线y=x2上一点，且在第一象限．过点P作抛物线的切线，交x轴于Q1点，过Q1点作x轴的垂线，交抛物线于P1点，此时就称P确定了P1．依此类推，可由P1确定P2，…．记Pn（xn，yn），n=0，1，2，…．给出下列三个结论：①xn＞0；
②数列{xn}为单调递减数列；
③对于?n∈N，?x＞1，使得y+y1+y2+…+yn＜2．
其中所有正确结论的序号为 ．
【答案】分析：求出过点Pn作抛物线的切线方程为
，证明数列{xn}为公比为
的等比数列，即可得到结论．
解答：解：记Pn（xn，yn），则
∵抛物线y=x2，∴y′=2x，
∴过点Pn作抛物线的切线方程为
，即
令y=0，则
，∴
∴数列{xn}为公比为
的等比数列
∵P是抛物线y=x2上一点，且在第一象限，
∴xn＞0；数列{xn}为单调递减数列；
y+y1+y2+…+yn=
+
+…+
=
∴0＜x＜
时，y+y1+y2+…+yn＜2．
∴?x＞1，使得y+y1+y2+…+yn＜2．
故正确结论的序号为①②③
故答案为：①②③．
点评：本题考查数列与解析几何的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
，证明数列{xn}为公比为的等比数列，即可得到结论．解答：解：记Pn（xn，yn），则
∵抛物线y=x2，∴y′=2x，
∴过点Pn作抛物线的切线方程为
，即令y=0，则
，∴∴数列{xn}为公比为
的等比数列∵P是抛物线y=x2上一点，且在第一象限，
∴xn＞0；数列{xn}为单调递减数列；
y+y1+y2+…+yn=
++…+=∴0＜x＜
时，y+y1+y2+…+yn＜2．∴?x＞1，使得y+y1+y2+…+yn＜2．
故正确结论的序号为①②③
故答案为：①②③．
点评：本题考查数列与解析几何的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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的等比数列；
