Question

已知A，B，C为锐角△ABC的三个内角，向量=（2-2sinA，cosA+sinA），=（1+sinA，cosA-sinA），且⊥．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求y=2sin²B+cos（-2B）取最大值时角B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据两向量的垂直，利用两向量的坐标求得（2-2sinA）（1+sinA）+（cosA+sinA）（cosA-sinA）=0，利用同角三角函数的基本关系整理求得cosA的值，进而求得A．
（Ⅱ）根据A的值，求得B的范围，然后利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理后．利用B的范围和正弦函数的单调性求得函数的最大值，及此时B的值．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴（2-2sinA）（1+sinA）+（cosA+sinA）（cosA-sinA）=0
⇒2（1-sin²A）=sin²A-cos²A
⇒2cos²A=1-2cos²A
⇒cos²A=．
∵△ABC是锐角三角形，∴cosA=⇒A=．

（Ⅱ）∵△ABC是锐角三角形，且A=，∴＜B＜
∴
=1-cos2B-cos2B+sin2B
=sin2B-cos2B+1
=sin（2B-）+1
当y取最大值时，2B-=，即B=．
点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，向量的基本性质．考查了学生对基础知识的掌握和基本的运算能力．