Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（0，2），离心率e=

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点N（2，0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l倾斜角的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆过点M（0，2），离心率e=

6

3

，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，利用数量积大于0，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意得b=2，

c

a

=

6

3

结合a²=b²+c²，解得a²=12
所以，椭圆的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．…（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)．
①当x₁=x₂=2时，斜率不存在时，不妨令

OA

=(2，

2 6

3

)，

OB

=(2，-

2 6

3

)
∴

OA

•

OB

=4-

8

3

=

4

3

＞0，∠AOB为锐角成立 …（6分）
②当x₁≠x₂时，设直线l的方程为：y=k（x-2）
由

x2 12 + y2 4 =1 y=k(x-2)

得x²+3k²（x-2）²=12
即（1+3k²）x²-12k²x+12k²-12=0．
所以x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-12

1+3k2

，…（8分）
∴y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=-

8k2

1+3k2

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

8k2-12

1+3k2

＞0                                 …（10分）
解得k＞

3

或k＜-

3

．…（12分）
综上，直线l倾斜角的取值范围是（

π

3

，

2π

3

）．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．