Question

【题目】设函数，，其中.

(1)若，证明：当时，；

(2)设，且，其中是自然对数的底数.

①证明恰有两个零点；

②设如为的极值点，为的零点，且，证明：.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）①证明见解析；②证明见解析；

【解析】

（1）将条件转化，构造函数，通过导数证明，当时，即可；

（2）先求得，先判断的增减性，设导数为零的点为，可证在内单调递增，在内单调递减，再结合（1）的性质可得，即，将代换可得，再结合（1）的性质放缩，即可求证

令

当时，，所以在上递减，

又在上连续，

所以当时，，即当时，

(2)证明：①，得

令，由，

可知在内单调递减，又，且

.

故在有唯一解，从而在内有唯一解，

不妨设为，则

当时，，所以在内单调递增；

当时，，所以在内单调递减，

因此是的唯一极值点.

由(1)知.从而

又因为，所以在内有唯一零点.

又在内有唯一零点，从而在内恰有两个零点.

②由题意，，即，

从而，即.

因为当时，，又，故

两边取对数，得，于是

整理得.