Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n-

1

n(n+1)

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=na_n•2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和s_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=a_n-

1

n(n+1)

移向得出a_n+1-a_n=-

1

n(n+1)

=

1

n+1

-

1

n

，再利用叠加法求通项．
（Ⅱ）（Ⅱ）b_n=na_n•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ，根据通项公式特点：等差数列和等比数列的乘积，利用错位相消法求和．

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=a_n-

1

n(n+1)

移向得a_n+1-a_n=-

1

n(n+1)

=

1

n+1

-

1

n

当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（

1

n

-

1

n-1

）+（

1

n-1

-

1

n-2

）+…+（

1

2

-

1

1

）+2
=

1

n

+1．
当n=1时，也适合上式，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

n

+1．
（Ⅱ）b_n=na_n•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ，
s_n=2×2¹+3×2²+…+（n+1）×2ⁿ，①
2s_n=2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹，②
两式相减得：
-s_n=2×2¹+2²+2³…+2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=4+

22(1-2n-1)

1-2

-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=-n×2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查数列通项公式求解，数列求和，考查了裂项、叠加，错位相消法在数列问题中的应用体现．