题目内容
| 已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0 的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立。设数列{an}的前n项和Sn=f（n）， （1）求数列{an}的通项公式； （2）设  ，求数列{bn}的前n项和；（3）设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足cici+1＜0的正整数的个数称为这个数列{cn}的变号数。另  （n为正整数），求数列{cn}的变号数。 |
| 解：（1）∵不等式f（x）≤0 的解集有且只有一个元素， ∴  ，∵在定义域内  ，使得不等式 成立，∴函数y=f（x）在（0，+∞）上是递减函数， 当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增， 故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立， 当a=4时，函数f（x）=x2-4x+4在（0，2）上递减， 故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立； 综上，得  ，当n=1时，  ；当n≥2时，  ；∴  ；（2）∵  ， ①∴  ， ②①－②得：   ，∴  ；（3）由题设  ，∵n≥3时，  ，∴n≥3时，数列{cn}递增， ∵  ，由 ，可知 ，即n≥3时，有且只有1个变号数， 又∵  ，即 ，∴此处变号数有2个， 数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3。 |
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