Question

已知且函数y=f（x）-x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是

1. A.
   （0，+∞）
2. B.
   [-1，0）
3. C.
   [-1，+∞）
4. D.
   [-2，+∞）

Answer 1

C
分析：先根据当x≥0时，f（x）=f（x-1），可得当x≥0时，f（x）在[-1，0）重复的周期函数，再根据x∈[-1，0）时，y=a-x²-2x=1+a-（x+1）²，对称轴x=-1，顶点（-1，1+a），进而可进行分类：（1）如果a＜-1，函数y=f（x）-x至多有2个不同的零点；（2）如果a=-1，则y有一个零点在区间（-1，0），有一个零点在（-∞，-1），一个零点是原点；（3）如果a＞-1，则有一个零点在（-∞，-1），y右边有两个零点，故可求实数a的取值范围．
解答：因为当x≥0的时候，f（x）=f（x-1），所以所有大于等于0的x代入得到的f（x）相当于在[-1，0）重复的周期函数
x∈[-1，0）时，y=a-x²-2x=1+a-（x+1）²，对称轴x=-1，顶点（-1，1+a）
（1）如果a＜-1，函数y=f（x）-x至多有2个不同的零点；
（2）如果a=-1，则y有一个零点在区间（-1，0），有一个零点在（-∞，-1），一个零点是原点；
（3）如果a＞-1，则有一个零点在（-∞，-1），y右边有两个零点，
故实数a的取值范围是[-1，+∞）
故选C．
点评：本题重点考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的周期性，有一定的难度．