题目内容

已知f（x）=ln（1+x）-
x
1+ax
（a＞0）．
（I） 若f（x）在（0，+∞）内为单调增函数，求a的取值范围；
（II） 若函数f（x）在x=O处取得极小值，求a的取值范围．
由f（x）=ln（1+x）-
x
1+ax
（a＞0）
得f′（x）=
1
1+x
-
(1+ax)-ax
(1+ax)2
=
a2x(x-
1-2a
a2
)
(1+x)(1+ax)2

（Ⅰ）∵f（x）在（0，+∞）内为单调增函数∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．
又a＞0∴x(x-
1-2a
a2
)≥0在（0，+∞）上恒成立
∴
1-2a
a2
≤0，解得a≥
1
2
．
（Ⅱ）由f′（x）=
a2x(x-
1-2a
a2
)
(1+x)(1+ax)2
=0 得x1=0，x2=
1-2a
a2
（a＞0）
其中a2、（1+x）、（1+ax）2均大于0
∵f（x）在x=O处取得极小值
∴在x=O左侧有f′（x）＜0，在x=O右侧有f′（x）＞0．
∴
1-2a
a2
＜0，解得a＞
1
2
．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=ln（1+x）-
x1+ax
（a＞0）．
（I） 若f（x）在（0，+∞）内为单调增函数，求a的取值范围；
（II） 若函数f（x）在x=O处取得极小值，求a的取值范围．
如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）对于（I）中的函数f（x）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0（a，b）使得
f(b)-f(a)
b-a
=f′（x0）”成立．利用这个性质证明x0唯一；
（Ⅲ）设A、B、C是函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．
已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若g(x)=
1
4
x2-x+f(x)，求g（x）在[0，2]上的最大值与最小值；
（2）当x＞0时，求证
1
1+x
＜f(
1
x
)＜
1
x
；
（3）当n∈N+且n≥2时，求证：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜f(n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围；
（3）求证：
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
32+3+1
32+3
•…•
n2+n+1
n2+n
＜e．
已知f（x）=ln（1+x）-
14
x2 是定义在[0，2]上的函数
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）若f（x）≥c对定义域内的x恒成立，求c的取值范围．．

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