Question

14．已知a₁=3，（2-a_n）•a_n+1=1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由（2-a_n）•a_n+1=1，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-1，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵（2-a_n）•a_n+1=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{2-{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{2-{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-1，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}-1}\}$是等差数列，首项为$\frac{1}{3-1}$=$\frac{1}{2}$，公差为-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2}-（n-1）$=$\frac{3-2n}{2}$，
解得a_n=$\frac{2n-5}{2n-3}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．