题目内容

设点P是曲线y=x³- $数学公式$ x+2上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是________．

$\text{[math]}$
分析：求出曲线解析式的导函数，根据完全平方式大于等于0求出导函数的最小值，由曲线在P点切线的斜率为导函数的值，且直线的斜率等于其倾斜角的正切值，从而得到tanα的范围，由α的范围，根据正切函数的值域得到自变量α的范围．
解答：∵y′=3x²- $\text{[math]}$ ≥- $\text{[math]}$ ，∴tanα≥- $\text{[math]}$ ，
又∵0≤α≤π，
∴0≤α＜ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
则角α的取值范围是[0， $\text{[math]}$ ）∪[ $\text{[math]}$ ，π）．
故答案为：[0， $\text{[math]}$ ）∪[ $\text{[math]}$ ，π）
点评：此题考查了利用导数研究曲线上某点切线的方程，直线倾斜角与斜率的关系，以及正切函数的图象与性质．要求学生掌握导函数在某点的函数值即为过这点切线方程的斜率，且直线的斜率为倾斜角的正切值，掌握正切函数的图象与性质．