题目内容
已知点P （4，4），圆C：
与椭圆E：
的一个公共点为A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线
与圆C相切。
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设D为直线PF1与圆C 的切点，在椭圆E上是否存在点Q ，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由。
【答案】
（1）m=1，椭圆E的方程为
（2）在椭圆上存在两个点Q，使得
PDQ是以PD为底的等边三角形
【解析】解：（1）∵点A(3,1)在圆上，∴（3-m）2+1=5 又m<3 ∴m=1 ┉┉2分
设F1(-c,0),∵P(4,4) 
直线PF1方程为4x-(4+c)y+4c=0 ---------3分
直线PF1与圆C相切，
c=4.――――－4分
由
得
椭圆E的方程为――――――――6分
（2）直线PF1方程为4x-8y+16=0，即x-2y+4=0
由
得切点D（0，2）―――――7分
又P(4,4), 线段PD中点为M（2，3）―――――8分
又椭圆右焦点为F2(4,0), 
―――10分
,线段PD垂直平分线的斜率为－2 ―――――――11分
，线段PD的垂直平分线与椭圆有两个交点――――13分
在椭圆上存在两个点Q，使得PDQ是以PD为底的等边三角形―――14分
（或与过点M的椭圆右侧切线斜率比较说明；或用判别式）
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与椭圆E：
有一个公共点A（3，1），F1．F2分别是椭圆的左．右焦点，直线PF1与圆C相切．
的范围．