Question

已知点P （4，4），圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）与椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个公共点为A（3，1），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．
（1）求m的值与椭圆E的方程．
（2）设D为直线PF₁与圆C的切点，在椭圆E上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点A代入圆的方程求得m，设F₁（-c，0）则直线PF₁的方程可表示出来，根据直线PF₁与圆C相切利用点到直线的距离求得c，进而把点（3，1）代入椭圆方程，求得a和b的关系式，同时根据a²-b²=c³，求得a和b的另一个关系式，最后联立求得a和b．则椭圆的方程可得．
（2）把直线方程与圆的方程联立求得切点坐标，进而根据P的坐标求得线段PD的中点进而根据椭圆的右焦点求得直线MF₂的斜率进而求得其垂直平线的斜率，进而判断出线段PD的垂直平分线与椭圆有两个交点判断出在椭圆上存在两个点Q，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形．

解答：解（1）∵点A（3，1）在圆C上，
∴（3-m）²+1=5
又m＜3，∴m=1
设F₁（-c，0），∵P（4，4）
∴直线PF₁的方程
为4x-（4+c）y+4c=0
∵直线PF₁与圆C相切
∴

|4+4c|

16+(4+c)2

=

5

(c＞0)即c=4
由

a2-b2=16 9 a2 + 1 b2 =1

解得

a2=18 b2=2

∴椭圆E的方程是

x2

18

+

y2

2

=1
（2）直线PF₁的方程为x-2y+4=0
由

x-2y+4=0 (x-1)2+y2=5

得切点D（0，2）
又∵P（4，4），∴线段PD的中点为M（2，3）
又∵椭圆右焦点F₂（4，0）kMF2=

3

2-4

=-

3

2

又kPD=

1

2

，∴线段PD的垂直平分线的斜率为-2
∵-2＜-

3

2

，∴线段PD的垂直平分线与椭圆有两个交点
即在椭圆上存在两个点Q，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，平时应注意多训练．