Question

8．已知P（x，y）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1上任意一点，F₁是双曲线的左焦点，O是坐标原点，则$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$的最小值是4-2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先算出$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$的表达式，根据x的取值范围，求出$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$的最值．

解答 解：由已知可得：F₁的坐标为（-$\sqrt{5}$，0），
设P（x，y），
则$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-x，-y）•（-$\sqrt{5}$-x，-y）=x²+$\sqrt{5}$x+y²=x²+$\sqrt{5}$x+$\frac{{x}^{2}}{4}-1$=$\frac{5}{4}$x²+$\sqrt{5}$x-1=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+1）²-2，x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）．
∴当x=-2时，$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$的最小值为：4-2$\sqrt{5}$，
故答案为：4-2$\sqrt{5}$

点评 本题主要考查了双曲线的性质，平面向量的数量积，函数的值域，是中档题．