Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AP

=

c

．
（1）试用

a

，

b

，

c

表示出向量

BM

；
（2）求BM的长．

Answer 1

分析：（1）根据向量加法法则，得

BM

=

1

2

(

BC

+

BP

)，再根据正方形ABCD中

AD

=

BC

，结合

BP

=

AP

-

AB

代入化简即得用

a

，

b

，

c

表示向量

BM

的式子；
（2）由题意得

a

、

b

、

c

的模长分别为1、1、2，利用数量积公式结合题中角度算出

a

•

b

=0，

a

•

c

=

b

•

c

=1，代入

BM

2的表示式算出

BM

2=

3

2

，从而得到BM的长等于

6

2

．

解答：解：（1）∵M是PC的中点，∴

BM

=

1

2

(

BC

+

BP

)
∵

AD

=

BC

，

BP

=

AP

-

AB

，∴

BM

=

1

2

[

AD

+(

AP

-

AB

)]
结合

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AP

=

c

，得

BM

═

1

2

[b+(c-a)]=-

1

2

a+

1

2

b+

1

2

c
（2）∵AB=AD=1，PA=2，∴

|a|

=

|b|

=1，

|c|

=2
∵AB⊥AD，∠PAB=∠PAD=60°
∴

a

•

b

=0，

a

•

c

=

b

•

c

=2×1×cos60°=1
∵

BM

=-

1

2

a+

1

2

b+

1

2

c
∴

BM

2=

1

4

(-

1

2

a+

1

2

b+

1

2

c)2=

1

4

(

a

2+

b

2+

c

2-2

a

•

b

-2

a

•

c

+2

b

•

c

)
=

1

4

(1+1+4+0-2+2)=

3

2

∴

|BM|

=

BM 2

=

6

2

，即BM的长等于

6

2

．

点评：本题在四棱锥中用

a

、

b

、

c

表示出向量

BM

，并根据给出的数据求BM的长度．着重考查了向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．